| 课程介绍： |
※ 理论课和理论实践课教学内容
※ 课程在本专业的定位与课程目标
※ 知识模块顺序及对应的学时
※ 课程的重点、难点及解决办法
※ 课程在本专业的定位与课程目标
本课程是非数学系大学生的公共基础课, 凡是南京大学学生, 除数学系外, 理科类系科为必修课程一年半, 文科(一)类系科为必修课程一年, 文科(二)类系科为必修课程半年。
课程目标: 对非数学类本科大学生讲授数学基础知识与解题技巧、训练数学思维方法与工作能力、培养数学素质与科学态度, 以适应21世纪自然与社会科学发展的新要求。
※ 知识模块顺序及对应的学时
课程内容体系结构：
大学数学：
1、大学数学（理） —— 适用于理、化、天、地、生等各理科院系
2、大学数学（文一）—— 适用于商学院经济管理类文科、信息管理等各院系
3、大学数学（文二）—— 适用于中文、外文、历史、哲学、新闻、法学等院系
教学内容组织方式与目的：
教学内容是依据课程体系结构，按照下面方式组织的
（1）大学数学（理）
① 几何与代数方法初步 ② 导数-函数的分析与研究I
③ 积分-函数的分析与研究II ④ 级数-函数的分析与研究III
⑤ 微分方程与傅里叶分析 ⑥ 空间结构与现代数学
（2）大学数学（文一）
① 函数与极限
② 导数与微分
③ 一元函数积分学
④ 多元函数微分学
⑤ 级数
⑥ 微分方程和差分方程简介
⑦ 行列式、矩阵和线性方程组
⑧ 相似矩阵与二次型
⑨ 概率论
⑩ 数理统计
附录 线性空间与线性变换
（3）大学数学（文二）
① 现代数学的一些基本概念
② 数列的极限和函数的基本性质
③ 导数及其应用
④ 不定积分与定积分
⑤ 多元函数微积分的一些应用
⑥ 概率论与数理统计入门
⑦ 线性方程组与矩阵
⑧ 附录A 二元函数的可微性
⑨ 附录B 关于Fuzzy集论的基本概念
学时
（A）理科 周学时：5； 总学时：270； 共54周（三学期）
第一章 几何与代数方法初步 共7周
§1.1 引言 — 几何方法与代数方法的结合 1周
§1.2 向量 — 几何方法与代数方法结合的实例
直角坐标系, 向量及其表示, 向量的内积、外积
§1.3 空间中的平面与直线 — 各种方程 1周
空间中的平面及其方程, 空间中的直线及其方程, 平面与直线的关系
§1.4 二次曲面 — 常见曲面及其代数方程 2周
空间曲面, 柱面及其方程, 锥面及其方程, 旋转面及其方程, 直纹面, 常见二次曲面的分类
§1.5 行列式 — 行列式定义，性质及其运算 1周
问题的提出, 行列式的定义及性质
§1.6 矩阵 — 矩阵定义，性质及其运算 2周
矩阵的定义及运算、初等变换, 矩阵的秩, 利用矩阵讨论线性方程组的解
第二章 导数与微分 — 函数的分析与研究Ｉ 共9周
§2.1 引言 — 变量，函数的分析方法 1周
§2.2 极限 — 描述变化趋势的概念，ε－Ｎ、ε－δ
语言数列的极限, 函数的极限, 极限运算与判别准则
两个重要的极限 1周
无穷小量、无穷大量, 函数的连续性
§2.3 导数 — 物理与几何意义，几种初等函数的导数 1周
函数的导数概念, 几种初等函数的导数
§2.4 求导法则 — 四则运算，几个求导法则 1周
导数的四则运算, 反函数的求导法则, 复合函数的求导法则, 对数求导法则, 隐函数求导法则, 参数式求导法则,导数基本公式表 1周
§2.5 导数应用 — 洛必达法则，函数性质研究与作图 2周
应用的依据 — 三个重要定理, 求极限的洛必达法则, 函数性质及其图形的研究, 平面曲线的曲率
§2.6 微分 — 概念，应用 2周
微分的定义、几何意义, 微分的运算, 微分的应用
§2.7 多元函数 — 极限，偏导数，全微分，应用 2周
多元函数的概念, 多元函数的极限, 多元函数的连续性, 多元函数的偏导数, 多元函数的全微分、方向导数, 多元函数的复合, 应用
第三章 积分 — 函数的分析与研究ＩＩ 共19周
§3.1 积分定义 — 曲边梯形面积与黎曼积分 5周
§3.2 积分性质与计算 — 定积分，不定积分定积分的性质、牛顿 - 莱布尼兹公式, 不定积分的定义、性质、意义与积分法, 定积分的计算
§3.3 多重积分 — 二重积分，三重积分，定义与计算 3周
二重积分定义、性质, 二重积分的计算，直角坐标、极坐标下的计算公式, 二重积分换元积分法, 三重积分及多重积分
§3.4 曲线积分、曲面积分 — 定义，与重积分的关系 3周
第一型曲线积分定义、性质、计算公式, 第二型曲线积分定义、性质、计算公式, 第一型曲面积分定义、性质、计算公式, 第二型曲线积分定义、性质、计算公式, 格林公式、斯托克斯公式、高斯公式
§3.5 积分的应用 — 几何应用，物理应用 2周
曲线长度、曲面面积、立体体积, 力、力矩、惯性矩、转动惯量, 场论 — 梯度、散度、旋度
§3.6 反常积分，含参量的积分 — 收敛性与发散性 2.5周
收敛性与发散性、判别法, 含参量的积分、一致收敛概念, 斯蒂尔切斯积分
§3.7 复变量函数的微积分 — 复映射与复方法 2周
复数与复映射, 复映射的极限、微积分
§3.8 勒贝格积分 — 测度与积分 1.5周
勒贝格积分的定义、黎曼积分的推广, 勒贝格积分的重要性质, 黎曼积分与勒贝格积分的比较, 勒贝格平方可积空间
第四章 级数 — 函数的分析与研究ＩＩＩ 共5周
§4.1 数项级数 — 敛散性，基本判别法 1周
常数项级数, 正项级数, 任意项级数
§4.2 函数项级数 — 一致收敛性，幂级数 3周
函数项级数, 幂级数、泰勒级数, 多元函数的泰勒公式与泰勒级数, 复级数、罗朗级数
§4.3 傅里叶级数 — 收敛性，判别法，应用 1.5周
直交（正交）函数系, 傅里叶级数的定义, 傅里叶级数的逐点收敛定理, 任意有限区间上的傅里叶级数, 傅里叶级数的逐项求积与逐项求导数, 傅里叶级数的极值性质与贝塞尔不等式
第五章 微分方程与傅里叶分析 共7.5周
§5.1 微分方程 — 数学建模，微分方程的建立 3周
建模实例、微分方程的通解、特解, 一阶常微分方程的几种特殊类型, 高阶常系数线性微分方程, 隐式方程, 存在性与唯一性定理, 常微分方程数值解法
§5.2 偏微分方程 — 一阶方程，三类二阶偏微分方程 1周
一阶方程, 双曲、椭园、抛物型方程
§5.3 傅里叶变换 — 基本理论，应用 2周
预备知识, 可积空间上的傅里叶变换与卷积运算, 可积空间上的傅里叶逆变, 平方可积空间上的傅里叶变换
§5.4 小波变换简介 — 基本理论，应用 1.5
周小波变换的引入, 连续小波变换与时频分析, 离散小波变换, 小波变换反演公式, 多分辩分析、小波应用概述
第六章 空间的结构与现代数学 共6.5周
§6.1 集合 — 定义，基本知识 1.5周
§6.2 运算结构 — 元素之间的运算群、环、域, 线性空间, 方阵空间
§6.3 拓扑结构 — 元素之间的“位置”距离空间, 赋范线性空间
§6.4 分布理论 — 分布的傅里叶变换 2周
连续线性泛函, 分布空间、分布的性质, 基本空间上的傅里叶分析
§6.5 巴拿赫空间微积分学 — 经典微积分的推广 1.5周
极限, 导数, 级数, 偏导数与高阶导数, 压缩映射定理与不动点定理
§6.6 非线性科学概述 1.5
周非线性科学：学科介绍, 非线性科学的范围与共性, 分形分析的内容与意义、维数（豪斯道夫维数、盒维数等）
（B）文科一 周学时：6； 总学时：216； 共36周（二学期）
（一）
1.1．实数集：集合，实数集，不等式，区间、邻域、数集的界；
1.2．一元函数：概念，反函数，复合函数，具有某些特殊性质的函数，初等函数；
1.3．极限：数列的极限与基本性质，函数的极限，无穷小量，运算法则，存在准则，两个基本极限，无穷小量的比较；
1.4．连续函数：概念，间断点，运算法则，闭区间上连续函数的性质。
（二）
2.1．导数与微分：导数的定义，求导法则，基本公式，高阶导数，极坐标系，参数方程所确定的函数的导数；
2.2．微分：概念，微分的应用；
2.3．中值定理：微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式；
2.4．导数的应用：函数的单调性与极值，函数的凹向与拐点，渐近线与函数的作图，导数在经济学中的应用，方程的近似解；
2.5．微分：定义，应用；
（三）
3.1．不定积分：概念，基本积分表，换元积分法，分部积分法，简单可积函数的积分，有理函数积分；
3.2．定积分：概念，定积分的性质，牛顿－莱布尼兹公式，换元积分与分部积分，定积分的近似计算；
3.3．定积分的应用：微元法，应用；
3.4．广义积分：两类广义积分， 函数。
（四）
4.1．空间解析几何简介：空间直角坐标系，向量及其运算，平面与直线，二次曲面与空间曲线；
4.2．多元函数微分学：多元函数的基本概念，二元函数的极限与连续，偏导数与全微分，复合函数与隐函数的微分法，高阶微分与多元泰勒公式，偏导数在几何上的应用，方向导数与极值；
4.3．二重积分：定义与性质，直角坐标下二重积分的计算，无界区域上的简单二重积分的计算。
（五）
5.1．常数项级数：基本概念与性质，级数的概念，正项级数，任意项级数；
5.2．幂级数：概念，运算，幂级数展开，幂级数的应用；
（六）
6.1．一阶微分方程：一般概念；
6.2．高阶微分方程：几种类型的高阶微分 场的运算结构；
6.3．差分方程：基本概念，一阶常系数线性差分方程，二阶常系数线性差分方程；
6.4．微分方程和差分方程应用举例。
（B）文科二 周学时：6； 总学时：108； 共18周（一学期）
（一）
1.1．集合：集合的运算， 与 中点的邻域、空心邻域；
1.2．映射与函数：概念，一元函数表示法，二次多项式、三角函数。对数函数、指数函数、反三角函数等，函数的定义域、值域及其图形；
1.3．线性空间与线性映射：概念。
（二）
2.1．数列的极限：定义，收敛数列的性质，两个判定准则，利用性质与准则求数列的极限； 2.2．一元函数的常见性质：反函数，复合函数，初等函数，分段函数，奇偶性，单调性，有界性，周期性等；
2.3．函数的连续性：定义，四则运算，复合，初等函数的连续性，有界闭区间上连续函数的性质，应用；
2.4．一元函数的极限：极限的定义、性质，连续性与极限的关系，极限的四则运算，复合函数求极限的变量代换法，的凹向与拐点，两个重要的极限 ；左、右极限的定义与求法，分段函数在间断点处的连续性，无穷小量的概念与性质，无穷小量的比较，无穷大量的概念，与无穷小量的关系；
2.5．间断性：间断点的定义，类型。
（三）
3.1．导数定义与基本求法：定义，与连续性的关系，求导的四则运算，链式法则及取对数求导法，反函数求导法，基本求导公式，左右导数的概念，分段函数在分点处的可导性；
3.2．曲线的切线：了解导数的几何意义，平面曲线的切线方程与法线方程；
3.3．高阶导数：定义，二阶导数与三阶导数的求法；
3.4．函数的微分及其应用：一元函数的微分，导数与微分的关系，微分的求法，应用；
3.5．微分中值定理：一元函数的局部极值，费马定理，柯西中值定理，拉格朗日中值定理，罗尔中值定理，几何意义，应用；
3.6．函数的极值与最大值、最小值：极值的判别法，最大值与最小值的求法，应用问题；
3.7．洛必达法则：求 与 不定型，可化为这两种不定型的其他类型，求函数的极限；
3.8．泰勒公式及其应用：函数的凹向与拐点，曲线的垂直与水平渐近线，斜渐近线，简单的函数的作图。
（四）
4.1．不定积分：原函数与不定积分的概念，有界闭区间上连续函数的原函数的存在，不定积分的基本性质与基本积分公式，换元积分法，分部积分法，求简单的不定积分；
4.2．定积分：积分的基本性质、几何意义与计算公式，变上限的定积分的求导公式，性质，定积分的换元积分法，分部积分法，定积分的简单应用，求图形的面积，简单的经济应用问题；
4.3．定积分计算公式的推广：无穷区间上的广义积分，简单计算。
（五）
5.1．多元函数的连续性与极限：二元函数为例，连续性与极限的直观意义，四则运算， 复合性质，初等函数的连续性；
5.2．偏导数：二元函数偏导数的概念，一阶、二阶偏导数的求法；
5.3．二元函数的局部极值和最值：概念，求极值的方法，求最大值、最小值的方法，简单的应用问题；
5.4．拉格朗日乘数法：条件极值，拉格朗日乘数法的基本步骤和方法；
5.5．二重积分：定义与基本计算方法。
（六）
6.1．随机事件与概率：基本概念，事件的运算，事件的概率的公理化定义与条件概率的概念，特征性质与重要性质，计算较简单的古典概率及条件概率，全概率公式，逆概率公式，事件的独立性，利用事件独立性计算有关概率；；
6.2．随机变量及其分布：随机变量的定义，随机变量的分布函数及其性质，离散随机变量及其分布列，连续型随机变量及其密度函数，离散随机变量中的两点分布、二式分布、几何分布的分布列与分布函数；常见的连续型随机变量的密度函数与分布函数，计算与随机变量有关的事件的概率；
6.3．随机变量的数学期望与方差：离散随机变量与连续随机变量的数学期望与方差，它们的性质，计算具体的随机变量的数学期望与方差。
※ 课程的重点、难点及解决办法
无论在理科、文一, 还是在文二, 我们的课程重点都是围绕微积分进行的。以微分,积分, 级数, 微分方程初步为核心内容, 将经典微积分讲深、讲透。然后, 为开拓视野、扩大学生的知识面, 也为了新世纪科学时代对数学的新要求, 我们将近代数学的知识引入高等数学中。
学习难点：有以下部分
极限论 － 概念，ε-δ语言，求极限的准则与基本方法；几个重要的极限及应用。
积分 － 每种积分的概念、性质、积分法、计算以及各种积分的比较：黎曼积分、重积分、线积分与面积分、反常积分、复积分、勒贝格积分。
级数 － 每种级数的敛散性判别法、性质：常数项级数、函数项级数、幂级数、复级数、罗朗级数、傅立叶级数、小波级数。
常与偏微分方程 － 方程分类、基本的求解方法、傅里叶级数求解法、数值解法。
傅里叶分析 － 正交函数系、傅里叶变换、逆变换、反演公式、小波分析。
现代数学 － 现代科学技术中常用的概念：点集拓扑与泛函分析中的基本概念、分布理论及其应用、非线性科学概述。
解决办法:
我们采取的办法是根据数学学科的特点, 进行启发式教学。 主要体现在对学生思维方式的启发，在介绍数学概念时，重点在于说明概念由何种直观现象而来，交代其来源、实际背景，在数学中的地位及重要性等。以积分为例, 从黎曼积分开始, 到二重积分, 三重积分, 第一、第二型线、面积分, 反常积分, 复积分, 勒贝格积分, 都是先从物理或几何背景开始, 然后深入, 引进严格的数学定义， 给出一系列求积分法则与公式。特别是勒贝格积分，比较抽象、难以接受。在讲完定积分、线积分、面积分、反常积分之后，我们从积分发展的必要性出发，讲解为何要引入勒贝格积分, 其几何意义, 如何定义一个函数的勒贝格积分，其定义中用到的勒贝格测度与勒贝格可测函数是什么意思？此类积分有何性质，与黎曼积分有何异同？如何计算简单的勒贝格积分？一气呵成, 使学生对勒贝格积分、勒贝格测度、勒贝格可积函数的定义, 以及勒贝格积分的性质、与黎曼积分的比较，一层层认识， 逐步深入, 有了较深刻的理解, 因而使学生不仅对积分的发展、基本概念、基本理论、解题技巧有一个系统的认识，便于理解与掌握，也便于记忆与使用。我们避开了数学系的<实变函数>课程的严格理论, 但是却使非数学系的学生了解了勒贝格积分的主题、意义、应用, 为他们今后的学科需求给了合适的基础与深度, 取得了很好的教学效果。
又如， 鉴于富里叶分析对于新世纪的各个学科门类的重要性，我们对它作了详细介绍，并且引入 20 世纪后期发展起来的小波分析，因为小波的应用在新世纪中会是非常广泛的。本来, 这部分是不在传统的高等数学内容中的, 由于我们引进了勒贝格积分, 这里的富里叶分析也就不难理解了。
再如，对于近代数学的基础内容作了介绍，近世代数中关于群、环、域、线性空间等，都是众所周知的在近代物理、天文等学科中大量用到的知识；泛函分析、点集拓扑、分布理论等, 更是近代科学的支柱，在学生具备高等数学的基础知识后，能得到这些方面的初步知识，是非常有益的。教师由浅入深、因势利导, 学生不断提出问题、加深理解, 因此学习积极性很高, 教学紧密结合, 使学生受益匪浅。
教学手段的现代化，对数学来说是比较困难的。我们正积极地进行探索，期望利用现代化的教学手段, 帮助学生理解数学的内容。目前也已经取得一定的效果。
|
